作者：探路的淮–Ontheway
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_23418393/article/details/57421688
在学习 Java 基础语法的时候，初学者的我们可能都会有这么一个疑问为什么 byte 类型的取值范围为什么是 -128 ~ 127 而不是 -127 ~ 127。01111111 表示最大的数值：127，因为第一位是符号位，所以 11111111 应该是最小的数值：-127，不是这样才对？
在解释这个问题之前我们需要了解几个概念：机器数、真值、原码、反码、补码
机器数、真值、原码、反码、补码
机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为 0，负数为 1。
比如：十进制中的数 +3 ，计算机字长为 8 位，转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位 1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值 131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111]
即[-127 , 127]。原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
反码
反码的表示方法是：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。
补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身。
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 +1。(即在反码的基础上 +1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。
为什么 byte 类型的取值范围为 -128~127？
为何计算机内部不使用原码表示一个数？
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码，反码和补码是完全不同的。 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单。计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
反码的诞生
为了解决原码做减法的问题，出现了反码：
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的，但是 0 带符号是没有任何意义的。而且会有 [0000 0000]原 和 [1000 0000]原 两个编码表示 0。
补码的诞生
补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 =[0000 0001]反 + [1111 1110]反= [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 -0 则不存在了。而且可以用 [1000 0000] 表示-128：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是 -128。但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128, 所以 -128 并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)，使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为 -127+127， 而使用补码表示的范围为 -128127。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型, 可以表示范围是：-2^31~2^31-1 因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
扩展
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?